第一部分 --- 关系的离散性质（上）

1.自反性：自身和自身能满足的关系 --->比如自己能够整除自己

2.反自反性：自身和自身不能满足的关系 --->比如自己不可能和自己具有父子关系

 1.关系图中有的有环，有的数学没环，关系矩阵左对角线上有1又有0，元关则这是系关系的性质系一个既没有自反性也没有反自反性的关系

1.对称性：A和B是这个关系且B和A也是这个关系，比如朋友关系

2.反对称性：A和B是和关这个关系，但是闭包B和A不是这个关系，比如父子关系

3.同余：给定一个正整数m，离散两个整数a，数学b,元关如果a%m得到的余数和b%m得到的余数相等，则称a和b同余

1.关系满足性质的系关系的性质系定义就具有这个性质

1.矩阵的左上角和右下角连接的线就是主对角线

2.对称矩阵是指以 主对角线 为对称轴，各元素对应相等的和关矩阵；反对称矩阵则是以主对角线为轴，各元素不相等或都为0的闭包矩阵

关于第二个例子中的关系为什么符合传递性：

1.首先只要关系符合性质的定义这个关系就具有这个性质

2.上面这个就是传递性的定义，这个定义是离散一个蕴涵式，只要关系能让这个蕴涵式为真，数学则关系符合性质的元关定义，具有传递性，此时我们将第二个例子中的关系代入，会发现代入之后蕴涵式的前件为假

3.这时我们又要引入蕴涵式的另一个性质：善意推断，当蕴涵式的前件为假的时候，我们善意推断蕴涵式为真，也就是说这个第二个例子中的关系让蕴涵式为真了 --->即这个关系符合了这个性质的定义，则这个关系具有传递性

第二部分 --- 关系的性质（下）

1.一个关系可以同时满足多种性质，也可以一个性质也不满足

2.第二个例子中的空关系可以使得多个表示性质的定义的蕴涵式的前件为假 --->进而使得蕴涵式为真（善意推断） ---->进而使得空关系满足多个性质的定义，具有多种性质

第二部分 --- 关系的闭包

1.如何在给定的关系中添加最少的元素使其具有需要特殊性质 --- 关系的闭包问题

2.让给定的关系具有反自反性和反对称性的方法与上面的方法是反过来的 --- 此时我们需要通过删除元素的方式来实现我们的目的

3.研究关系的闭包问题是有实际意义的：比如在程序中函数A调用函数B，函数B又调用函数C，此时函数C不具有传递性，通过函数C我们只能知道是函数B调用了它，但是实际上真正让函数C能够被调用的是间接调用它的函数A，有没有什么办法通过函数C直接获得函数A呢？
答案是有的，我们通过给函数C添加最少的元素，使其具有传递性，这时函数A可以直接调用函数C，则我们就可以通过函数C得知真正调用它的是谁了 。

1.R‘ 具有的新的性质是根据我们的需要来选择的

1.从上往下分别是自反闭包，对称闭包和传递闭包